LESSON 1.3 · UNIT Ⅰ-1
1.3

순환 소수

Repeating Decimals — patterns that never end

끝없이 같은 패턴이 반복되는 무한소수. 그 패턴에 표기를 약속한다.

HOOK

$1 \div 7$을 직접 해보자

$1$을 $7$로 나눠 보면 $0.142857142857\ldots$. 자릿수가 끝없이 늘어나지만 자세히 보면 $142857$이라는 여섯 자리 패턴이 끝없이 반복됩니다.

이런 패턴이 발견되면 더 이상 길게 적을 필요가 없습니다. 끝없이 반복되는 부분에 점을 찍어 표기하기로 약속합니다 — 첫 자리와 마지막 자리에. $0.\dot{1}42857\dot{}$ — 이것이 우리가 사용하는 순환소수의 약속된 표기법.

"무한히 긴 수에도 패턴이 있다면, 그 패턴 하나만 적으면 충분하다."

CORE CONCEPT

순환소수와 순환마디

DEFINITION 01

순환소수(repeating decimal): 소수점 이하 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 끝없이 반복되는 무한소수.

순환마디(repeating block): 그 반복되는 숫자의 묶음. 가장 짧은 단위로 잡는다.

몇 가지 예시

$\dfrac{1}{3}$
= 0.333…
$0.\dot{3}$
순환마디 "3", 길이 1
$\dfrac{1}{6}$
= 0.1666…
$0.1\dot{6}$
"6"이 1자리 후부터 반복
$\dfrac{1}{9}$
= 0.111…
$0.\dot{1}$
순환마디 "1", 길이 1
$\dfrac{1}{11}$
= 0.0909…
$0.\dot{0}\dot{9}$
순환마디 "09", 길이 2
$\dfrac{1}{7}$
= 0.142857…
$0.\dot{1}4285\dot{7}$
순환마디 "142857", 길이 6
$\dfrac{5}{12}$
= 0.41666…
$0.41\dot{6}$
"6"이 2자리 후부터 반복
NOTATION

순환소수의 점 표기법

RULE
순환마디의 첫 자리와 마지막 자리의 숫자 위에 점($\cdot$)을 찍는다.
순환마디가 한 자리면 그 한 자리에 점 한 개.
0.333…
→
$0.\dot{3}$
순환마디 한 자리
0.1212…
→
$0.\dot{1}\dot{2}$
두 자리, 양 끝에 점
0.123123…
→
$0.\dot{1}2\dot{3}$
세 자리, 양 끝에 점
0.4666…
→
$0.4\dot{6}$
소수점 이하 첫 자리는 반복 X
⚠ 주의 — 가장 짧은 순환마디

$0.121212\ldots$를 $0.\dot{1}21\dot{2}$로 적으면 X (길이 3). 가장 짧은 패턴은 "12"이므로 $0.\dot{1}\dot{2}$로 적어야 함.

순환마디는 항상 가장 짧은 단위로 잡는다.

$n$번째 자리 숫자 찾기

$\dfrac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}$의 소수점 이하 $100$번째 자리 숫자는?

순환마디 "142857"의 길이가 $6$. $100 \div 6 = 16$ 나머지 $4$. 따라서 순환마디의 $4$번째 자리 = $8$.

일반화: 소수점 이하 $n$번째 자리 = 순환마디의 $n$을 길이로 나눈 나머지 번째 자리 (나머지 0이면 마지막 자리).

PROCESS

분수 → 순환소수

분수를 순환소수로 바꾸는 가장 안정적인 방법은 직접 나눗셈을 수행해 같은 나머지가 다시 나올 때까지 계산하는 것입니다.

$\dfrac{5}{11}$을 순환소수로

$5 \div 11$:

$50 \div 11 = 4$ 나머지 $6$
$60 \div 11 = 5$ 나머지 $5$
$50 \div 11 = 4$ 나머지 $6$ ← 같은 나머지 다시!
$60 \div 11 = 5$ 나머지 $5$ …

같은 나머지가 다시 나오는 순간 패턴이 반복됨을 알 수 있습니다. $\dfrac{5}{11} = 0.4545\ldots = 0.\dot{4}\dot{5}$.

순환마디의 시작 위치

분모를 소인수분해 했을 때:

  • 분모에 $2$나 $5$가 없으면 소수점 바로 다음부터 순환 시작. (예: $\dfrac{1}{3} = 0.\dot{3}$)
  • 분모에 $2$ 또는 $5$가 있고 다른 소인수도 있으면, 소수점 이하 몇 자리 후부터 순환 시작. (예: $\dfrac{1}{6} = 0.1\dot{6}$)
INTERACTIVE

순환소수 찾기

분수를 입력하면 순환마디와 길이, 그리고 점 표기까지 자동으로 찾아 줍니다.

RECURRING DECIMAL FINDER
RESULT
$0.\dot{1}4285\dot{7}$
전개
0.142857142857…
순환마디
142857
길이
6
비순환부 길이
0
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
수치 입력
$\dfrac{1}{3}$을 순환소수로 점 표기할 때, 점이 찍히는 숫자는 무엇인가? (한 자리 수만 입력)
Q-02
선택형
$0.121212\ldots$를 점 표기로 나타낸 것은?
Q-03
수치 입력
$\dfrac{1}{11} = 0.0909\ldots$의 순환마디 길이는?
자리
Q-04
선택형
$\dfrac{1}{6} = 0.1666\ldots$의 올바른 점 표기는?
Q-05
수치 입력
$\dfrac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}$의 소수점 이하 $100$번째 자리 숫자는?
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
$\dfrac{5}{11}$을 순환소수로 나타내고 점 표기로 적으시오. 순환마디의 길이를 구하시오.
$5 \div 11$을 직접 수행. $50 \div 11 = 4$ 나머지 $6$. $60 \div 11 = 5$ 나머지 $5$. $50 \div 11 = 4$ 나머지 $6$ — 다시 같은 패턴.
$\dfrac{5}{11} = 0.4545\ldots$. 순환마디 = "45", 길이 $2$.
점 표기: $0.\dot{4}\dot{5}$ (양 끝에 점).
▶ $0.\dot{4}\dot{5}$, 순환마디 길이 2
EXAMPLE 02
$\dfrac{2}{7} = 0.\dot{2}8571\dot{4}$의 소수점 이하 $50$번째 자리 숫자를 구하시오.
$\dfrac{2}{7}$의 순환마디 = "285714", 길이 $6$.
$50 \div 6 = 8$ 나머지 $2$. → 순환마디의 $2$번째 자리.
순환마디 "285714"의 $2$번째 자리는 $8$.
▶ $8$
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
수치 입력
$\dfrac{1}{9} = 0.\dot{1}$의 순환마디 길이는?
P-02 ★
선택형
$0.272727\ldots$의 점 표기는?
P-03 ★
선택형
$\dfrac{1}{6} = 0.1666\ldots$의 순환마디는?
P-04 ★★
수치 입력
$\dfrac{1}{3} = 0.\dot{3}$의 소수점 이하 $25$번째 자리 숫자는?
P-05 ★★
수치 입력
$\dfrac{4}{11} = 0.\dot{3}\dot{6}$의 소수점 이하 $20$번째 자리 숫자는?
P-06 ★★
수치 입력
$\dfrac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}$의 소수점 이하 $30$번째 자리 숫자는?
P-07 ★★★
수치 입력
$\dfrac{2}{7} = 0.\dot{2}8571\dot{4}$의 소수점 이하 $1$번째부터 $20$번째까지 숫자의 합은? (순환마디 합 $\times$ 주기 수 $+$ 남은 자리 합)
P-08 ★★★
선택형
$0.5666\ldots$의 올바른 점 표기는?
WRAP-UP

1.3 순환소수 — 핵심 정리

무한소수 중 일정한 패턴이 반복되는 것이 순환소수. 가장 짧은 순환마디를 찾아 양 끝에 점 표기. 소수점 이하 $n$번째 자리는 나눗셈 나머지로 추적.

POINT 1

순환소수 = 끝없이 같은 패턴 반복되는 무한소수

POINT 2

순환마디는 가장 짧은 반복 단위. 양 끝에 점.

POINT 3

분수 → 순환소수: 직접 나눗셈, 같은 나머지가 다시 나오면 반복 시작

POINT 4

$n$번째 자리: $n \div (\text{길이})$의 나머지로 위치 찾기

↑ Ⅰ-1. 유한·순환소수 차례로